ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА

- 1) О. множество {x_a} ненулевых векторов евклидова (гильбертова) пространства со скалярным произведением такое, что (x_a, x_ab)=0 при . Если при этом норма каждого вектора равна единице, то система {x_a} наз. ортонормированной. Полная О. с. {x_a} наз. ортогональным (ортонормированным) базисом. М. И. Войцеховский.

2) О. с. координат - система координат, и к-рой координатные линии (или поверхности) пересекаются под прямым углом. О. с. координат существуют в любом евклидовом пространстве, но, вообще говоря, не существуют в произвольном пространстве. В двумерном гладком аффинном пространстве О. с. всегда можно ввести по крайней мере в достаточно малой окрестности каждой точки. Иногда возможно введение О. с. координат в делом. В О. с. метрич. тензор g_ij диагоналей; диагональные компоненты g_ii принято наз. коэффициентами Ламе. Ламе коэффициент О. с. в пространстве выражаются формулами

где x, у и z - декартовы прямоугольные координаты. Через коэффициенты Ламе выражаются элемент длины:

элемент площади поверхности:

элемент объема:

векторные дифференциальные операции:

Наиболее часто используемые О.с. координат: на плоскости - декартовы, полярные, эллиптические, параболические; в пространстве - сферические, цилиндрические, параболоидальные, бицилиндрические, биполярные. Д. Д. Соколов.

3) О. с. функций - конечная или счетная система {j_i(x)} функций, принадлежащих пространству

L²(X, S,m) и удовлетворяющих условиям

Если l_i=1 для всех i, то система наз. ортонормированной. При этом предполагается, что мера m(x), определенная на s-алгебре Sподмножеств множества X, счетно аддитивна, полна и имеет счетную базу. Это определение О. с. включает все рассматриваемые в современном анализе О. с.; они получаются при различных конкретных реализациях пространства с мерой (X, S,m).

Наибольший интерес представляют полные ортонормированные системы {j_n(x)}, обладающие тем свойством, что для любой функции существует единственный ряд , сходящийся к f(x) в метрике пространства L²(X, S,m), при этом коэффициенты с _п определяются формулами Фурье

Такие системы существуют в силу сепарабельности пространства L²(X, S,m). Универсальный способ построения полных ортонормированных систем дает метод ортогонализации Шмидта. Для этого достаточно применить его к нек-рой полной L²(S, X,m) системе линейно независимых функций.

В теории ортогональных рядов в основном рассматриваются О. с. пространЛва L²[a, b](тот частный случай, когда Х=[ а, b], S - система множеств, измеримых по Лебегу, и m - мера Лебега). Многие теоремы о сходимости или суммируемости рядов , , по общим О. с. {j_n(x)} пространства L²[a, b]верны и для рядов по ортонормированным системам пространства L²(X, S,m). Вместе с тем в этом частном случае построены интересные конкретные О. с., обладающие теми или иными хорошими свойствами. Таковы, например, системы Хаара, Радемахера, Уолша-Пэли, Франклина.

1) Система Хаара

где m=2ⁿ+k, , т=2,3, ... . Ряды по системе Хаара представляют типичный пример мартингалов и для них верны общие теоремы из теории мартингалов. Кроме того, система является базисом в L^p[0,1], , и ряд Фурье по системе Хаара любой интегрируемой функции почти всюду сходится.

2) Система Радемахера

представляет собой важный пример О. с. независимых функций и имеет применения как в теории вероятностей, так н в теории ортогональных и общих функциональных рядов.

3) Система Уолша - Пэли определяется через функции Радемахера:

где числа ти q_k определяются из двоичного разложения числа п:

4) Система Франклина получается ортогонализацией методом Шмидта последовательности функций

Она является примером ортогонального базиса пространства С[0, 1] непрерывных функций.

В теории кратных ортогональных рядов рассматриваются системы функций вида

где - ортонормированная система в L²[a, b]. Такие системы ортонормированы на m-мерном кубе J^m =[a, b]x . ..x[ а, b] и полны, если полна система {j_n(x)}

Лит.:[l] Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; [2] Итоги науки. Математический анализ, 1970, М., 1971, с. 109-46; [3] там же, с. 147- 202; [4] Дуб Д ж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [5] Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962; [6] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1-2, М., 1965. А. А. Талалян.